Hallo, es ist Zeit für das zweite Aufgabenblatt und für die Persenzaufgaben.

Wir fangen mit der Persenzaufgabe, die mit 2 nominiert ist, mit 2 und schauen uns eine Folge an,

die so definiert ist, dass a1 gleich 1 ist und alle übrigen Folgen, die der Rekursiv definiert sind

als an plus 1, ist ein Viertel mal an² plus 2an minus 3.

Zuerst sagen wir zeigen, dass an in minus 1 ist, minus 1 bis 1 ist und zwar für alle n Elemente.

Also eine kurze Nebenbemerkung, wenn man nur eine Aussage hat und einen alle Quantor,

dann eigentlich sollte ich das jetzt, wenn man streng ist, sollte ich das sozusagen so hinschreiben.

Ich machs mal lieber so, damit es korrekt ist. Aber wenn man es ausspricht, dann sagt man meistens,

wir zeigen, dass an Element minus, also in minus 1, 1 ist für alle n Element n, das ist ein sprachliches Ding.

Aber mathematisch korrekt ist natürlich zuerst n zu qualifizieren mit dem alle Quantor und dann das Ganze hinzuschreiben.

Gerade wenn man alle Quantoren und Existenzquantoren hat, ist es sehr wichtig, in welcher Reihenfolge sie dranstehen.

Deswegen sollte ich mir diese Schlampe nicht angewöhnen.

Wir wollen zeigen, dass an immer zwischen minus 1 und 1 beschränkt ist und zwar mit vollständigen Introduktionen.

Das heißt, wir machen das jetzt so, Introduktionsanfang, wir überprüfen a1.

a1 ist gleich 1, das ist sicherlich in minus 1, 1, also stimmt das jetzt schon mal.

Die Unterdrückungsvoraussetzung, es sei an in minus 1, 1 für ein n Element n.

Und der Unterdrückungsschluss ist jetzt aus dieser Unterdrückungsvoraussetzung das Befolgern für n plus 1.

Wir schauen uns also an, dass wie wir wissen ist ja an2 plus 2 an minus 3 viertel.

Ich habe es lieber so. Jetzt müssen wir es nach oben abschätzen gegen 1 und nach unten abschätzen gegen minus 1.

Wir fangen an mit nach oben.

Dazu schauen wir uns an an2 plus 2 an minus 3 durch viertel.

Was können wir alles abschätzen? Der erste Term ist, naja, an ist kleiner als 1, also ist an2 auch kleiner als 1.

Und genauso haben wir das Ganze auch hier. Das heißt, wir haben jetzt hier das ist kleiner als 1 viertel plus 2 mal 1 minus 3 viertel.

Und das ist zufällig gleich 0. Und das ist insbesondere natürlich kleiner als 1.

Das heißt, wir haben es erfolgreich nach oben abgeschätzt.

Nach unten an2 plus 2 an minus 3 viertel.

Jetzt ist es nicht mehr ganz so einfach. Wir können es zumindest an2 nicht einfach so leicht nach unten abschätzen.

Also nicht ohne uns ein bisschen was genauer zu überlegen. Natürlich könnten wir es nach 0 abschätzen.

Also ich mache mal einen Fehlversuch. Es ist hilfreich auch Fehlversuche zu machen.

Das ist größer als 0. So ist es klar, weil an2 immer größer als 0 ist.

Plus 2 mal, wohin können wir an nach unten abschätzen? Na ja, nach minus 1. Das funktioniert schon mal.

Minus 3 viertel. Und das ist dann minus 5 viertel. Und das ist nicht gut genug.

Es ist nicht falsch. Es ist nur nicht gut genug.

Warum ist es nicht falsch?

Streicher Abschätzungen kann man immer geschickt machen und ungeschickt machen.

Und hier haben wir zu grob abgeschätzt, wie man sagt.

Das heißt, wir haben uns nicht außerhin für Mühe gegeben.

Dieses 1 Quadrat einfach brute force gegen 0 abzuschätzen, da verlieren wir zu viel Information.

Wir brauchen quasi diesen Term, um diesen Term auch noch weiter abzuschätzen.

Das heißt, ihn ganz leicht zu schmeißen war ein Fehler.

Das heißt, wir müssen es nochmal versuchen.

Versuch.

Wie können wir die Information aus dem quadratischen Term hiermit einschließen lassen?

an2 plus 2an minus 3 viertel. Und das wollen wir jetzt nach unten abschätzen, nach minus 1.

Irgendwie müssen wir was mit diesem quadratischen Term hier machen.

Und wenn man einen quadratischen Term abschätzen möchte, ist es meistens eine gute Idee,

die zugrunde legende quadratische Ergänzung zu machen.

Also das ist jetzt hier eine Parabel. Und Parabeln kann man in verschiedene Formeln bringen.

Und in jedem Fall sucht man eigentlich einfach nur nach der richtigen binomischen Formel und versucht sie anzuwenden.

Ich mache jetzt hier diesen kleinen Trick. Das ist sozusagen einer der fundamentalen Tricks der ersten,